第二章 导数与微分

一、基本函数求导法则

(1) 常数

\[(C)^{'}=0\]

(2) 幂函数

\[(x^{u})^{'}=ux^{u-1}\]

(3) 指数函数

\[(a^{x})^{'}=a^{x} \ln a\]

(4) 对数函数

\[(\log_a x)^{'}=\frac {1}{x\ln a}\]

(5)三角函数

\[(\sin x)^{'}=\cos x \\(\cos x)^{'}=- \sin x \\(\tan x)^{'}=\sec^2 x \\(\sec x)^{'}=\sec x \tan x \\(\csc x)^{'}=- \csc x \cot x \\(\arcsin x)^{'}=\frac {1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\(\arccos x)^{'}=- \frac {1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\(\arctan x)^{'}=\frac {1}{1+x^{2}} \\(\mathrm{arccot}~ x)^{'}=- \frac {1}{1+x^{2}}\]

二、和差积商的求导法则

(1) 和差

\[[u \pm v]^{'}=u^{'} \pm v^{'}\]

(2) 积

\[[uv]^{'}=u^{'}v+ uv^{'}\]

(3) 商

\[[\frac {u}{v}]^{'}=\frac {u^{'}v - uv^{'}}{v^{2}}\]

三、反函数的求导法则

反函数的导数等于函数导数的倒数

\[[f^{-1}(x)]^{'}=\frac{1}{f^{'}(y)}\]

四、复合函数的求导法则（链式法则）

\[\frac{dy}{dx}=f^{'}(u) \cdot g^{'}(x)\]

五、高阶导数

(1) 归纳法

求一阶二阶三阶等归纳总结出高阶导数公式

(2) 公式法

a.加法

\[(u \pm v)^{(n)}=u^{(n)}+v^{(n)}\]

b.乘法（莱布尼茨公式）

\[(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)}\]

六、隐函数和参数方程函数的导数

显函数：\(y=由x构成的式子\)

隐函数：由y和x的构成的式子，如 \(x-\sqrt y=1\)

隐函数求导：两边同时对x进行求导，并且将y看作一个x构成的表达式

\[y^5+2y-x=0的导数\\ \Rightarrow 5y^4y^{'}+2y^{'}-1=0\\ \Rightarrow y^{'}=\frac {1}{5y^4+2}\]

对数求导法：有些无法直接求导的表达式，可以先取对数，然后进行隐函数求导

参数方程：多个方程组构成

\[\left\{ \begin{array}{ll} x = g(t), \\ y = h(t) \end{array} \right.\]

参数方程一阶求导：

\[\frac {dy}{dx}=\frac {dy}{dt} \frac {dt}{dx}=h^{'}(t) g^{-1}(x)=\frac {h^{'}(t)}{g^{'}(t)}\]

二阶求导：注意分母为三次方

\[\frac {d^2y}{dx^2}=\frac {d}{dt} (\frac{h^{'}(t)}{g^{'}(t)}) \cdot \frac {dt}{dx} =\frac {h^{''}(t)g^{'}(t)-h^{'}(t)g^{''}(t)}{g^{'3}(t)}\]

相关变化率：知道一个变化率，求另一个依赖的变化率

建立两个相关变化量的关系式，求导

七、函数的微分

可以理解为

\[若y=f(x)，\\则dy=f^{'}(x) dx\]

也可理解为

\[因为 \frac {dy}{dx}=f^{'}(x)\\ 所以 dy=f^{'}(x) dx\]