第三章 微分中值定理与导数应用
第三章 微分中值定理与导数应用
一、微分中值定理
费马引理：若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取得极值，且在这点可导，则 \(f^{'}(x_0)=0\) 。
1.罗尔定理
如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 可导，
并且端点函数值 \(f(a)=f(b)\) 相等，那么在区间 \((a,b)\) 内至少有一点 \(c\) 使得 \(f^{'}(c)=0\) 。
即若函数可导，已知两点函数值相等，则两点之间必定存在极值点。
2.拉格朗日中值定理
如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 可导，
那么在区间 \((a,b)\) 内至少有一点 \(c\) 使得 \(f(b)-f(a)=f^{'}(c)(b-a)\) 。
即在任意两点的区间内，必定存在一点的切线平行于两端点的直线，即 \(\frac {f(b)-f(a)}{b-a}=f^{'}(c)\) 。
推导：若某函数在区间内恒等于一个常数，则导数恒等于 0 。
3.柯西中值定理
如果函数 \(f(x)\) 和 \(F(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 可导，
并且 \(y=f(x)\) 和 \(x=F(x)\) ，且 \(F^{'}(x) \neq 0\) ，则在区间内至少有一点 \(c\) 使得 \(\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac {f^{'}(c)}{F^{'}(c)}\) 。
最常用的方法，构造辅助函数，应用微分中值定理。
微分中值定理的应用
- 证明恒等式
- 证明不等式
- 证明有关中值问题的结论
二、洛必达法则
若下面条件满足
- \[\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=\lim\limits_{x \to x_0} g(x)=0\]
- 都可导且 \(g^{'}(x) \neq 0\)
- \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac {f^{'}(x)}{g^{'}(x)}\) 存在或无穷
则
\[\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}\]可以通过柯西中值定理推导出来。
三、泰勒公式
第一个泰勒公式
\[\begin{aligned} &P_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\ &=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac {f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n ,(1)\\ &R_n(x)=o((x-x_0)^n) ,(2)\\ &f(x)=p_n(x)+R_n(x),(3) \end{aligned}\]多项式 (1) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的 n 次泰勒多项式
公式 (2) 称为佩亚诺余项
公式 (3) 称为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的带有佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式
如果取 \(x_0=0\) ，那么公式为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
\[f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)\]第二个泰勒公式
\[\begin{aligned} &P_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\ &=f(x_0)+f^{'}(x_0)(x-x_0)+\frac {f^{''}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n ,(1)\\ &R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ,\xi \in(x_0,x),(2)\\ &f(x)=p_n(x)+R_n(x),(3) \end{aligned}\]公式 (2) 称为拉格朗日余项
公式 (3) 称为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处带有拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式
如果取 \(x_0=0\) ，那么公式为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式
\[f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{''}(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\Theta x)}{(n+1)!}x^{n+1},(0<\Theta<1)\]四、函数单调性与曲线凹凸性
判断函数单调性
函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导，则
（1）如果在 \((a,b)\) 内 \(f^{'}(x)≥0\) ，且等号只在有限个点上成立，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调增加
（2）如果在 \((a,b)\) 内 \(f^{'}(x)≤0\) ，且等号只在有限个点上成立，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调减少
判断凹凸性
如果函数是凹的，则在区间任意两点恒有
\[f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\]如果函数是凸的，则在区间任意两点恒有
\[f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\]函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内具有一阶导数和二阶导数，则
（1）如果在 \((a,b)\) 内 \(f^{''}(x)>0\) ，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凹的
（2）如果在 \((a,b)\) 内 \(f^{''}(x)<0\) ，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的图形是凸的
如果曲线在经历某点时，凹凸性改变了，那么就称这点 \((x,f(x))\) 为曲线的拐点。
求拐点步骤：
- (1) 求 \(f^{''}(x)\) ；
- (2) 令 \(f^{''}(x)=0\) ，解出实根，并求出 \(f^{''} (x)\) 不存在的点；
- (3) 对第二步求出的点进行判断，如果点两侧 \(f^{''}(x)\) 的符号不相同，则是拐点。
五、函数的极值与最值
1.极值
在 \(x_0\) 的某个去心邻域内任意 \(f(x)<f(x_0)\)，则称 \(f(x_0)\) 是函数 \(f(x)\) 的一个极大值。
在 \(x_0\) 的某个去心邻域内任意 \(f(x)>f(x_0)\)，则称 \(f(x_0)\) 是函数 \(f(x)\) 的一个极小值。
极值点的导数必定为 0，但是导数为 0 的点不一定是极值点。
若邻域左边导数大于0，右边导数小于0，则在这点的函数值为极大值。
若邻域左边导数小于0，右边导数大于0，则在这点的函数值为极小值。
若函数在 \(x_0\) 处具有二阶导数且 \(f^{'}(x_0)=0\)，\(f^{''}(x_0) ≠ 0\)，则
- 当 \(f^{''}(x_0)<0\) 时，函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取得极大值；
- 当 \(f^{''}(x_0)>0\) 时，函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处取得极小值。
2.最值
求连续函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的最值：
- 求出 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内的驻点和不可导的点
- 求出第一步点的所有函数值和两个边界函数值
- 比较以上各点函数值
六、函数图像描绘
利用导数描绘图形的步骤：
- 确定函数的定义域和函数特性（奇偶性和周期性）
- 求一阶导数和二阶导数，并求出两个导数为0和不存在的点
- 列表，判别增减及凹凸区间，求出极值和拐点
- 求水平渐近线和垂直渐近线
- 确定某些特殊点，描绘函数图形
七、曲率
曲率：描述一个点在函数图形上弯曲程度的一个量
弧微分公式： \(ds=\sqrt{1+y^{'2}} dx\)
| 曲率公式：$$K= | \frac{d~\alpha }{ds} | =\frac{ | y^{‘’} | }{(1+y^{‘2})^{\frac{3}{2}}}$$ |
曲率半径：\(R=\frac{1}{K}\)
